Олимпиады Могилев 2005 9 класс

Олимпиада

г. Могилев 2005

1. «Лебедка». Для погрузки массивных бочек на платформу используется наклонная плоскость и лебедка. Один конец троса закреплен в верхней точке наклонной плоскости, трос охватывает бочку, второй конец троса наматывается на вал лебедки. Двигатель лебедки питается электрогенератором, развивающим постоянную мощность P_o, КПД лебедки равен h, радиус вала лебедки r. Лебедка поднимает бочку массой m на высоту h по наклонной плоскости длиной L, массой троса пренебречь. Определить частоту вращения n (число оборотов в единицу времени) вала лебедки и время подъема бочки. решение

2. «Триатлон». В соревнованиях необходимо преодолеть расстояние от точки A, расположенной на одном берегу канала шириной h = 100 м, до точки C, расположенной на другом берегу. Вода в канале неподвижна. Точка B расположена строго напротив точки A. Обозначим расстояние BC = S. Один спортсмен, «байдарочник», преодолевает дистанцию на байдарке по воде (ясное дело, что байдарочник свою байдарку не бросит и пешком не ходит); второй, «пловец – бегун» может, как плыть по воде, так и бежать по берегу, причем он плывет в два раза медленнее байдарочника, а бежит в два раза быстрее его. Спортсмены стартуют одновременно.

Пусть второй спортсмен решил двигаться сначала вплавь по прямой AB, а затем по берегу бегом по прямой BC.

2.1. В первом туре соревнований точка финиша установлена так, что S = h. Найдите отношение времени движения спортсменов t₁/t₂ на этом маршруте.

2.2. После поданного протеста, второму спортсмену предоставлено право выбора расстояния S. При каком значении S спортсмены придут к финишу одновременно, если оба спортсмена будут придерживаться прежних стратегий?

2.3. В последнем туре финиш установлен на расстоянии S = 600 м от точки B. Какова оптимальная траектория движения «пловца – бегуна» на этой дистанции? Чему будет равно отношение времен движения спортсменов t₁/t₂ на этом маршруте, если «пловец – бегун» будет двигаться по «траектории минимального времени», а «байдарочник» своим принципам не изменяет? решение

3. «Термометр». Большинство веществ при нагревании расширяются. Относительное расширение тел обычно мало, поэтому может быть описано простейшими линейными зависимостями.

Если однородный брусок нагревается, то все его линейные размеры увеличиваются пропорционально, длина его стороны l зависит от температуры t^o (в градусах Цельсия) по закону l = l_o(1 + at) (1), где a называется коэффициентом линейного расширения. Очевидно, что при нагревании увеличивается и объем бруска, причем его объем зависит от температуры по закону V = V_o(1 + bt) (2), где b называется коэффициентом объемного расширения.

3.1. Какой физический смысл имеют параметры l_o, V_o, a, b в уравнениях (1) и (2)?

3.2. Установить связь между параметрами a и b одного вещества.

Уверены, что вы знакомы с устройством ртутного термометра: длинная стеклянная цилиндрическая трубка соединена с небольшим стеклянным баллоном, заполненным ртутью. При нагревании ртуть расширяется, длина столбика ртути увеличивается. Его длина измеряется по шкале, которая проградуирована в градусах Цельсия.

В рассматриваемом термометре при температуре при температуре t_o = 0,0^oC:

– внутренний объем баллона V_o = 200 мм³;

– внутренний диметр трубки d_o = 0, 20 мм;

– ртуть полностью заполняет баллончик, но не заходит в трубку;

– коэффициент объемного расширения ртути равен b = 1,8×10^–4 ^оС^–1.

– коэффициент линейного расширения стекла a = 3,0×10^–6 ^оС^–1.

3.3. Пренебрегая тепловым расширением стекла, постройте график зависимости высоты уровня ртути в трубке h (в мм) от измеряемой температуры t^o (в градусах Цельсия).

3.4. Пусть термометр проградуирован без учета теплового расширения стекла (как указано в предыдущем пункте 3.2.). Найдите относительную погрешность показания такого термометра, связанную с тепловым расширением стекла, при температуре t₁ = 10 ^oC. решение

4. «Поможем Техасу». В Техасе выпал снег, и «они» не знают, что с ним делать!

Для плавления снега создано следующее устройство. В глубокую яму шириной a = 1,0 м и длиной b = 5,0 м постоянно засыпают снег, находящийся при температуре плавления. Две противоположные боковые стены ямы металлические и подсоединены к источнику постоянного напряжения U = 10 кВ. В дне ямы имеется кран для слива талой воды и подержания его на постоянном уровне h = 1,5 м. Характеристики воды известны:

– плотность g = 1,0×10³ кг/м³;

– удельная теплота плавления снега l = 3,3×10⁵ Дж/кг;

– удельное электрическое сопротивление талой воды r = 1,0 Ом×м;

– проводимостью снега можно пренебречь.

4.1. Определите производительность (объем талой воды в единицу времени) данной установки.

В некоторый момент времени сливной кран засорился, и уровень воды в яме стал резко нарастать. Зависимость уровня воды от времени h(t) показана на графике.

4.2. Объясните приведенную зависимость, дайте ее описание на «языке формул и уравнений».

4.3. За какое время вода заполняет всю яму, если ее глубина H = 6,0 м? решение

на главную		AFPortal
Олимпиада г. Могилев 2005 9 класс 10 класс 11 класс 1. «Лебедка». Для погрузки массивных бочек на платформу используется наклонная плоскость и лебедка. Один конец троса закреплен в верхней точке наклонной плоскости, трос охватывает бочку, второй конец троса наматывается на вал лебедки. Двигатель лебедки питается электрогенератором, развивающим постоянную мощность P_o, КПД лебедки равен h, радиус вала лебедки r. Лебедка поднимает бочку массой m на высоту h по наклонной плоскости длиной L, массой троса пренебречь. Определить частоту вращения n (число оборотов в единицу времени) вала лебедки и время подъема бочки. решение 2. «Триатлон». В соревнованиях необходимо преодолеть расстояние от точки A, расположенной на одном берегу канала шириной h = 100 м, до точки C, расположенной на другом берегу. Вода в канале неподвижна. Точка B расположена строго напротив точки A. Обозначим расстояние BC = S. Один спортсмен, «байдарочник», преодолевает дистанцию на байдарке по воде (ясное дело, что байдарочник свою байдарку не бросит и пешком не ходит); второй, «пловец – бегун» может, как плыть по воде, так и бежать по берегу, причем он плывет в два раза медленнее байдарочника, а бежит в два раза быстрее его. Спортсмены стартуют одновременно. Пусть второй спортсмен решил двигаться сначала вплавь по прямой AB, а затем по берегу бегом по прямой BC. 2.1. В первом туре соревнований точка финиша установлена так, что S = h. Найдите отношение времени движения спортсменов t₁/t₂ на этом маршруте. 2.2. После поданного протеста, второму спортсмену предоставлено право выбора расстояния S. При каком значении S спортсмены придут к финишу одновременно, если оба спортсмена будут придерживаться прежних стратегий? 2.3. В последнем туре финиш установлен на расстоянии S = 600 м от точки B. Какова оптимальная траектория движения «пловца – бегуна» на этой дистанции? Чему будет равно отношение времен движения спортсменов t₁/t₂ на этом маршруте, если «пловец – бегун» будет двигаться по «траектории минимального времени», а «байдарочник» своим принципам не изменяет? решение 3. «Термометр». Большинство веществ при нагревании расширяются. Относительное расширение тел обычно мало, поэтому может быть описано простейшими линейными зависимостями. Если однородный брусок нагревается, то все его линейные размеры увеличиваются пропорционально, длина его стороны l зависит от температуры t^o (в градусах Цельсия) по закону l = l_o(1 + at) (1), где a называется коэффициентом линейного расширения. Очевидно, что при нагревании увеличивается и объем бруска, причем его объем зависит от температуры по закону V = V_o(1 + bt) (2), где b называется коэффициентом объемного расширения. 3.1. Какой физический смысл имеют параметры l_o, V_o, a, b в уравнениях (1) и (2)? 3.2. Установить связь между параметрами a и b одного вещества. Уверены, что вы знакомы с устройством ртутного термометра: длинная стеклянная цилиндрическая трубка соединена с небольшим стеклянным баллоном, заполненным ртутью. При нагревании ртуть расширяется, длина столбика ртути увеличивается. Его длина измеряется по шкале, которая проградуирована в градусах Цельсия. В рассматриваемом термометре при температуре при температуре t_o = 0,0^oC: – внутренний объем баллона V_o = 200 мм³; – внутренний диметр трубки d_o = 0, 20 мм; – ртуть полностью заполняет баллончик, но не заходит в трубку; – коэффициент объемного расширения ртути равен b = 1,8×10^–4 ^оС^–1. – коэффициент линейного расширения стекла a = 3,0×10^–6 ^оС^–1. 3.3. Пренебрегая тепловым расширением стекла, постройте график зависимости высоты уровня ртути в трубке h (в мм) от измеряемой температуры t^o (в градусах Цельсия). 3.4. Пусть термометр проградуирован без учета теплового расширения стекла (как указано в предыдущем пункте 3.2.). Найдите относительную погрешность показания такого термометра, связанную с тепловым расширением стекла, при температуре t₁ = 10 ^oC. решение 4. «Поможем Техасу». В Техасе выпал снег, и «они» не знают, что с ним делать! Для плавления снега создано следующее устройство. В глубокую яму шириной a = 1,0 м и длиной b = 5,0 м постоянно засыпают снег, находящийся при температуре плавления. Две противоположные боковые стены ямы металлические и подсоединены к источнику постоянного напряжения U = 10 кВ. В дне ямы имеется кран для слива талой воды и подержания его на постоянном уровне h = 1,5 м. Характеристики воды известны: – плотность g = 1,0×10³ кг/м³; – удельная теплота плавления снега l = 3,3×10⁵ Дж/кг; – удельное электрическое сопротивление талой воды r = 1,0 Ом×м; – проводимостью снега можно пренебречь. 4.1. Определите производительность (объем талой воды в единицу времени) данной установки. В некоторый момент времени сливной кран засорился, и уровень воды в яме стал резко нарастать. Зависимость уровня воды от времени h(t) показана на графике. 4.2. Объясните приведенную зависимость, дайте ее описание на «языке формул и уравнений». 4.3. За какое время вода заполняет всю яму, если ее глубина H = 6,0 м? решение