Олимпиада

 

г. Могилев 2005

9 класс 10 класс 11 класс

 

1. «Транспортер». Для механического снятия готовых изделий с ленты транспортера, движущегося со скоростью v, используется неподвижная вертикальная направляющая перекладина, установленная под углом a на ленте. Коэффициент трения изделий о ленту транспортера равен m₁, а о направляющую перекладину – m₂.

1.1. При каком минимальном угле a_min изделия будут соскальзывать с ленты транспортера?

1.2. Найдите установившуюся скорость u движения изделий вдоль направляющей. решение

 

2. «Кипение». При температуре 100 ^оС и нормальном атмосферном давлении с поверхности воды за время t = 1,0 c испаряется N = 5×10⁶ молекулярных слоев воды. Плотность водяного пара при этих условиях равна r = 0,60 кг/м³, плотность воды r_о = 1,0×10³ кг/м³.

При испарении происходит не только со свободной поверхности, но и «внутрь» жидкости, т. е. в пузырьки.

2.1. Пусть внутри жидкости образовался микроскопический пузырек. Найдите зависимость его радиуса r(t) от времени.

При всплытии пузырька в воде, на него действует тормозящая сила, формулу которой записывают в виде F = C_xr_ov²S/2, где r_о – плотность воды, v – скорость движения пузырька, S – максимальная площадь его поперечного сечения, C_x – безразмерный коэффициент лобового сопротивления для шарика он равен C_x = 0,60.

2.2. Постройте график зависимости скорости всплытия пузырька от времени v(t), начиная от момента его зарождения.

2.3. Пусть пузырек зародился вблизи дна кастрюли с кипящей водой, уровень которой h = 25 см. Оцените радиус r_min пузырька у поверхности воды. решение

 

3. «Диэлектрик, или проводник?». Плоский конденсатор образован двумя параллельными пластинами площадью S = 25 см² каждая, расположенными на расстоянии h = 2,0 мм друг от друга. Между обкладками конденсатора расположена пластинка толщиной h/2, имеющая ту же площадь, изготовленная из материала с диэлектрической проницаемостью e = 2,5 и удельным электрическим сопротивлением r = 1,0×10¹⁰ Ом×м. Конденсатор подключен к источнику постоянного напряжения U_o = 5,0 кВ через чувствительный амперметр.

3.1. Постройте примерные графики зависимости заряда конденсатора и силы тока через амперметр от времени после замыкания ключа.

3.2. Оцените характерное время существования тока в цепи.

3.3. Какое количество теплоты выделится в пластинке внутри конденсатора за время существования тока в цепи? решение

 

4. «Плоская Земля». Древние греки считали, что Земли является плоским диском, вращающимся вокруг своей оси. Примем и мы, что Земля является плоским диском достаточно большого радиуса (скажем, более 40 000 км).

Будем также считать, что период обращения диска вокруг своей оси равен одним суткам. Среднюю плотность материала диска примем равной средней плотности Земли r = 5,5×10⁵ кг/м³.

Познакомимся с «географией» плоской Земли. Она напоминает обычную карту земного шара с северным полюсом N. Далее аналогично: любую радиальную прямую, выходящую из северного полюса будем называть меридианом. Легко догадаться, что южного полюса нет – его роль играют все точки края диска. Соответственно, окружности, точки которых находятся на равном расстоянии от полюса, назовем параллелями. Движение по параллелям в направлении вращения Земли будет соответствовать движению на восток (E), а в противоположном направлении – на запад (W). Пусть Афины находятся в точке A, расположенной на расстоянии r_o = 4,0×10³ км от северного полюса N.

4.1. Какой должна быть толщина h этого диска, чтобы ускорение свободного падения на северном полюсе N было g = 9,8 м/с²?

4.2. Для связи с жителями «другой стороны» плоской Земли вдоль оси ее вращения пробурена сквозная тонкая шахта. Если без начальной скорости в шахту опустить камешек, то он пройдя сквозь шахту, окажется на другой стороне Земли. Найдите максимальную скорость v_max камешка при таком движении. Силой сопротивления воздуха пренебречь.

4.3. Для связи с жителями «своей стороны» плоской Земли из Афин с помощью суперкатапульты производится выстрел «снарядом» с начальной скоростью v_o = 100 м/с под углом a = 45^о к горизонту. Силой сопротивления воздуха пренебречь.

а) найдите величину и направление смещения DS снаряда от меридиана за время его полета при выстреле вдоль меридиана (рассмотрите два случая).

б) найдите величину и направление смещения DS снаряда от параллели за время его полета при выстреле вдоль параллели (рассмотрите два случая).

Гравитационная постоянная G = 6,67×10^–11 Н×м²/кг² решение