Олимпиады Могилев 2005 11 класс

Олимпиада

г. Могилев 2005

1. «Хорошо ли Вы знаете силу трения?»

1.0. Тонкостенный цилиндр радиуса R и массы m (которая равномерно распределена по боковой поверхности цилиндра) может вращаться вокруг неподвижной оси. К боковой поверхности цилиндра прикладывают постоянную силу F, направленную по касательной к поверхности. Покажите, что изменение угловой скорости w вращения цилиндра подчиняется уравнению mR²Dw/Dt = FR. (1) Даже если вы не сможете доказать это уравнение, то никто не запрещает вам использовать его в дальнейшем. Кроме того, напоминаем, что плоскопараллельное движение твердого тела можно представить в виде суммы поступательного движения его центра масс и вращения, вокруг оси, проходящей через центр масс тела.

1.1. Тонкостенную цилиндрическую трубку радиуса R раскрутили до угловой скорости w_о и аккуратно положили на горизонтальную поверхность (без начальной поступательной скорости). Найти скорость установившегося движения оси цилиндра. Трением качения пренебречь.

1.2. Небольшой прямоугольный брусок массы m = 1,0 кг находится на горизонтальной поверхности. Коэффициент трения между бруском и поверхностью равен m = 0,20. К бруску прикладывают постоянную горизонтально направленную силу F. Постройте график зависимости модуля ускорения бруска от модуля приложенной силы.

1.3. На горизонтальной поверхности расположен брусок. Коэффициент трения между бруском и поверхностью равен m = 0,20. Рядом с бруском располагают сильно раскрученный тонкостенный цилиндр массы m₁ = 1,0 кг, диаметр которого равен высоте бруска. Коэффициент трения между боковой поверхностью цилиндра и горизонтальной поверхностью, а также с поверхностью бруска равен m = 0,20. При какой максимальной массе бруска цилиндр сможет сдвинуть его с места? Чему будет равно ускорение бруска, если его масса m₂ = 0,10 кг?

1.4. На горизонтальной поверхности покоится тонкостенный цилиндр. Рядом с ним аккуратно кладут такой же цилиндр, но сильно раскрученный вокруг собственной оси. Коэффициент трения между цилиндрами и поверхностью, а также между боковыми поверхностями цилиндров одинаковы и равны m = 0,20. С какими ускорениями начнут двигаться эти цилиндры? решение

2. «Хорошо ли Вы знаете закон преломления света?»

2.1. Показатель преломления воздуха зависит как от температуры, так и от давления. Будем считать, что в наших условиях показатель преломления зависит только от температуры, причем эта зависимость имеет вид: n = 1 + a/T, (1) для воздуха при нормальном давлении постоянная a » 8,6×10^–2 K.

Воздух над дорогой под действием солнечных лучей разогревается, из-за чего сухой асфальт может казаться «мокрым». Пусть в достаточно тонком слое над дорогой температура воздуха превышает среднюю температуру t_o = 17 ^oC на величину Dt. На некотором минимальном расстоянии S от себя наблюдатель может видеть «лужи» на дороге.

Объясните появление «луж».

Постройте график зависимости S(Dt).

Глаз наблюдателя находится на высоте h = 1,0 м от дороги.

Для моделирования миража в лаборатории ее размера явно недостаточны, поэтому воздух «остроумно» можно заменить на кусок органического стекла, показатель преломления которого гораздо сильнее зависит от температуры.

В качестве источника света используется тонкая светящаяся нить S. В дальнейшем рассматривайте лучи:

а) идущие под малыми углами к оси системы и на малом расстоянии от нее (параксиальное приближение);

б) лучи в плоскости, содержащей ось системы, и перпендикулярной нити.

2.2. На расстоянии a = 40 см от источника расположили тонкую собирающую линзу с фокусным расстоянием F = 20 см. На каком расстоянии b от линзы следует расположить экран, чтобы на нем было четкое изображение нити?

2.3. Не меняя положение источника и линзы, вплотную к источнику расположили прямоугольный брусок из органического стекла. Его длина l = 20 см, показатель преломления n = 1,5. На каком расстоянии b от линзы следует расположить экран, чтобы опять на нем получить четкое изображение источника?

2.4. Брусок стали освещать параллельным пучком света. Экран расположили в фокальной плоскости линзы. После чего брусок стали нагревать с одной стороны. В результате неравномерного нагрева показатель преломления бруска стал изменяться линейно от n_o = 1,5 на одной стороне до n₁ = n_o + dn, где dn = 2,0×10^–4 на другой. Направление изменения температуры перпендикулярно направлению распространению света. Как изменилась картина на экране после указанного нагрева бруска? Толщина бруска d = 4,0 см. решение

3. «Что вы знаете о Солнце?»

Сначала табличные данные:

Гравитационная постоянная G = 6,67×10^–11 Н×м²/кг²;

Скорость света c = 3×10⁸ м/с;

Среднее расстояние от Земли до Солнца L = 1,5×10⁸ км;

Угловой размер Солнца, видимый с Земли a = 32^/;

Масса Земли m = 6,0×10²⁴ кг;

Период обращения Земли вокруг Солнца 1 год (точно);

Солнечная постоянная (количество солнечной энергии Солнца, падающей в течение 1 с на площадку площадью 1 м², поставленную на границе атмосферы, перпендикулярно солнечным лучам) g = 1,4 кВт/м²;

Постоянная Стефана-Больцмана s = 5,7×10^–8 Вт/(м²×К⁴);

Универсальная газовая постоянная R = 8,31 Дж/(моль×К).

Используя эти данные, оцените:

3.1. Температуру поверхности Солнца.

3.2. Через какой промежуток времени масса Солнца уменьшится на 10 %.

3.3. Считая, что солнечная атмосфера состоит из атомарного водорода, оцените эффективную толщину Солнечной атмосферы. решение

на главную		AFPortal
Олимпиада г. Могилев 2005 9 класс 10 класс 11 класс 1. «Хорошо ли Вы знаете силу трения?» 1.0. Тонкостенный цилиндр радиуса R и массы m (которая равномерно распределена по боковой поверхности цилиндра) может вращаться вокруг неподвижной оси. К боковой поверхности цилиндра прикладывают постоянную силу F, направленную по касательной к поверхности. Покажите, что изменение угловой скорости w вращения цилиндра подчиняется уравнению mR²Dw/Dt = FR. (1) Даже если вы не сможете доказать это уравнение, то никто не запрещает вам использовать его в дальнейшем. Кроме того, напоминаем, что плоскопараллельное движение твердого тела можно представить в виде суммы поступательного движения его центра масс и вращения, вокруг оси, проходящей через центр масс тела. 1.1. Тонкостенную цилиндрическую трубку радиуса R раскрутили до угловой скорости w_о и аккуратно положили на горизонтальную поверхность (без начальной поступательной скорости). Найти скорость установившегося движения оси цилиндра. Трением качения пренебречь. 1.2. Небольшой прямоугольный брусок массы m = 1,0 кг находится на горизонтальной поверхности. Коэффициент трения между бруском и поверхностью равен m = 0,20. К бруску прикладывают постоянную горизонтально направленную силу F. Постройте график зависимости модуля ускорения бруска от модуля приложенной силы. 1.3. На горизонтальной поверхности расположен брусок. Коэффициент трения между бруском и поверхностью равен m = 0,20. Рядом с бруском располагают сильно раскрученный тонкостенный цилиндр массы m₁ = 1,0 кг, диаметр которого равен высоте бруска. Коэффициент трения между боковой поверхностью цилиндра и горизонтальной поверхностью, а также с поверхностью бруска равен m = 0,20. При какой максимальной массе бруска цилиндр сможет сдвинуть его с места? Чему будет равно ускорение бруска, если его масса m₂ = 0,10 кг? 1.4. На горизонтальной поверхности покоится тонкостенный цилиндр. Рядом с ним аккуратно кладут такой же цилиндр, но сильно раскрученный вокруг собственной оси. Коэффициент трения между цилиндрами и поверхностью, а также между боковыми поверхностями цилиндров одинаковы и равны m = 0,20. С какими ускорениями начнут двигаться эти цилиндры? решение 2. «Хорошо ли Вы знаете закон преломления света?» 2.1. Показатель преломления воздуха зависит как от температуры, так и от давления. Будем считать, что в наших условиях показатель преломления зависит только от температуры, причем эта зависимость имеет вид: n = 1 + a/T, (1) для воздуха при нормальном давлении постоянная a » 8,6×10^–2 K. Воздух над дорогой под действием солнечных лучей разогревается, из-за чего сухой асфальт может казаться «мокрым». Пусть в достаточно тонком слое над дорогой температура воздуха превышает среднюю температуру t_o = 17 ^oC на величину Dt. На некотором минимальном расстоянии S от себя наблюдатель может видеть «лужи» на дороге. Объясните появление «луж». Постройте график зависимости S(Dt). Глаз наблюдателя находится на высоте h = 1,0 м от дороги. Для моделирования миража в лаборатории ее размера явно недостаточны, поэтому воздух «остроумно» можно заменить на кусок органического стекла, показатель преломления которого гораздо сильнее зависит от температуры. В качестве источника света используется тонкая светящаяся нить S. В дальнейшем рассматривайте лучи: а) идущие под малыми углами к оси системы и на малом расстоянии от нее (параксиальное приближение); б) лучи в плоскости, содержащей ось системы, и перпендикулярной нити. 2.2. На расстоянии a = 40 см от источника расположили тонкую собирающую линзу с фокусным расстоянием F = 20 см. На каком расстоянии b от линзы следует расположить экран, чтобы на нем было четкое изображение нити? 2.3. Не меняя положение источника и линзы, вплотную к источнику расположили прямоугольный брусок из органического стекла. Его длина l = 20 см, показатель преломления n = 1,5. На каком расстоянии b от линзы следует расположить экран, чтобы опять на нем получить четкое изображение источника? 2.4. Брусок стали освещать параллельным пучком света. Экран расположили в фокальной плоскости линзы. После чего брусок стали нагревать с одной стороны. В результате неравномерного нагрева показатель преломления бруска стал изменяться линейно от n_o = 1,5 на одной стороне до n₁ = n_o + dn, где dn = 2,0×10^–4 на другой. Направление изменения температуры перпендикулярно направлению распространению света. Как изменилась картина на экране после указанного нагрева бруска? Толщина бруска d = 4,0 см. решение 3. «Что вы знаете о Солнце?» Сначала табличные данные: Гравитационная постоянная G = 6,67×10^–11 Н×м²/кг²; Скорость света c = 3×10⁸ м/с; Среднее расстояние от Земли до Солнца L = 1,5×10⁸ км; Угловой размер Солнца, видимый с Земли a = 32^/; Масса Земли m = 6,0×10²⁴ кг; Период обращения Земли вокруг Солнца 1 год (точно); Солнечная постоянная (количество солнечной энергии Солнца, падающей в течение 1 с на площадку площадью 1 м², поставленную на границе атмосферы, перпендикулярно солнечным лучам) g = 1,4 кВт/м²; Постоянная Стефана-Больцмана s = 5,7×10^–8 Вт/(м²×К⁴); Универсальная газовая постоянная R = 8,31 Дж/(моль×К). Используя эти данные, оцените: 3.1. Температуру поверхности Солнца. 3.2. Через какой промежуток времени масса Солнца уменьшится на 10 %. 3.3. Считая, что солнечная атмосфера состоит из атомарного водорода, оцените эффективную толщину Солнечной атмосферы. решение